蜀道難，難于上青天;數(shù)量難，難在排列組合。眾所周知，排列組合問(wèn)題是數(shù)量關(guān)系中有名的“硬骨頭”，不少學(xué)生在它面前折戟沉沙、甘拜下風(fēng)，其實(shí)排列組合問(wèn)題作為一個(gè)大考點(diǎn)，其內(nèi)部也有很多容易掌握的小考點(diǎn)。這些小考點(diǎn)是一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，隔板模型便是考查頻率較高的一種，其考法相對(duì)固定，容易上手。因此MVP學(xué)習(xí)網(wǎng)就帶領(lǐng)大家好好學(xué)習(xí)一下隔板模型，把它斬于馬下。
1.題型認(rèn)知
隔板模型主要用于解決相同元素的分堆問(wèn)題。一般題干描述為“把n個(gè)完全相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，要求每個(gè)對(duì)象至少分一個(gè)，問(wèn)有多少種不同的分法”。
2.公式推導(dǎo)
根據(jù)題干描述，可以理解為把n個(gè)完全相同的元素分成m堆，在分堆的過(guò)程中，可以通過(guò)在間隔里放板從而把每堆分開(kāi)，那么m堆就需要(m-1)個(gè)板子。
如圖所示，所有元素分別用圓表示，那么如何放板才能滿足每堆至少分一個(gè)?通過(guò)嘗試不難發(fā)現(xiàn)，在分堆過(guò)程中，最外側(cè)的兩端不能插入板子，否則就會(huì)出現(xiàn)其中有堆分得0個(gè)元素的情況，不符合題意要求。因此只能在中間的(n-1)個(gè)間隔中插入板子，即從(n-1)個(gè)間隔中選出(m-1)個(gè)間隔插入板子，又因?yàn)楦淖冺樞驅(qū)Y(jié)果沒(méi)有影響，
注意：直接套用公式需要同時(shí)滿足以下條件：①所分元素完全相同;②所有元素全部分完;③要求每個(gè)對(duì)象至少分一個(gè)。
將7個(gè)大小相同的桔子分給4個(gè)小朋友，要求每個(gè)小朋友至少分到1個(gè)桔子，一共有幾種分配方法?
A.14 B.18 C.20 D.22
【答案】C。核心解析：題目要求將“7個(gè)大小相同的桔子分給4個(gè)小朋友”，滿足所有元素完全相同且全部分完，要求每個(gè)對(duì)象至少分一個(gè)，符合隔板模型的應(yīng)用特征，因此列式
4位同學(xué)分5個(gè)蘋果、1個(gè)梨，每位同學(xué)至少分到一個(gè)水果，問(wèn)有多少種不同的分法?
A.16種 B.24種 C.40種 D.48種
【答案】C。核心解析：根據(jù)題意，第一步把1個(gè)梨分給4個(gè)同學(xué)中的1個(gè)，則有4種情況;第二步向這個(gè)同學(xué)先借1個(gè)蘋果，此時(shí)題干條件轉(zhuǎn)變?yōu)閷?個(gè)蘋果分給4個(gè)同學(xué)，要求每個(gè)同學(xué)至少分一個(gè)，符合隔板模型特征，因此總共有4×10=40種不同的分法，選擇C項(xiàng)。
通過(guò)以上題目的練習(xí)，相信大家對(duì)“隔板模型”的題目有了初步的理解。紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行，想要真正掌握這類題目，還是快快行動(dòng)起來(lái)練習(xí)吧!
